Špirály

Link: http://mathematische-basteleien.de/spiral.htm

Obsah tejto stránky

Čo je špirála?
Špirály od polárnych rovníc
Archimedovho špirála
rovnoúhlový Spiral
viac špirály
Clothoide
špirály Made oblúkov
Spirals Vyrobené z čiarové segmenty
Trojrozmerný špirály
loxodróm
Making špirál
Mandelbrot Set Spirals
Spirals vyrobený z kovu
Špirály, špirály, špirály
špirály na internetových
Referencie .

 

Čo je špirála?

Spirála je krivka v rovine alebo v priestore, ktorý prebieha špeciálne okolo centra.


Rôzne špirály nasledujú. Väčšina z nich sa vyrába podľa vzorcov.


Spirály podľa polárnych rovníc top

Archimedovho špirála top
môžete vytvoriť špirálu dvoma pohybmi bodu: K dispozícii je rovnomerný pohyb v pevnom smere a pohybu v kruhu s konštantnou rýchlosťou. Obidva pohyby začínajú v rovnakom bode.

…………………….. .

(1) Jednotný pohyb vľavo sa pohybuje bodom doprava. – Existuje deväť snímok.
(2) Pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou posúva bod na špirále súčasne. – Na každom ôsmom kroku je bod.
(3) Spirála ako krivka prichádza, ak vyberiete bod na každom kroku.


Získate vzorce rovnocenné s kruhovými rovnicami.
kružnice

Nech P je bod kruhu s polomerom R, ktorý je daný rovnicou v strednej polohe.Existujú tri základné druhy kruhu:
(1) stredná rovnica: x² + y² = R alebo [y = sqr (R-x²) und y = -sqr (R-x²)],
(2) tvoria parametrov: x ( t) = R cos (t), y (t) = R sin (t),
(3) Polárna rovnica: r (t) = R.

Dáte pár bod (polomer OP, uhol t) v (jednoduchej) polárnej rovnici. Polomer je vzdialenosť bodu od miesta pôvodu (0 | 0). Uhol leží medzi polomerom a pozitívnou osou x, jeho vrcholom v pôvode.


Špirála
Polomer r (t) a uhol t sú úmerné pre najjednoduchšiu špirálu, špirálu Archimedes. Preto je rovnica:
(3) Polárna rovnica: r (t) = pri [a je konštantná].
Z toho vyplýva
(2) Forma parametra: x (t) = pri cos (t), y (t) = pri sin (t
) ] ².


Archimédová špirála začína v pôvode a vytvára krivku s troma kolami.Vzdialenosti medzi špirálovými vetvami sú rovnaké.
Presnejšie: vzdialenosti priesečníkov pozdĺž čiary cez pôvod sú rovnaké.

Ak odrážaš Archimedovu špirálu na priamke, dostaneš novú špirálu s opačným smerom.
Oba špirály idú von. Ak sa pozriete na špirály, ľavý z nich vytvára krivku smerujúcu doľava, pravá krivka smeruje doprava.

Ak spojíte obidve špirály priamou (červenou) alebo klenutou krivkou, rozvíja sa dvojitá špirála.


Equiangular Spiral (logaritmická špirála, Bernoulliho špirála) top

(1) Polárna rovnica: r (t) = exp (t).
(2) Forma parametra: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) sin (t).
(3) Stredná rovnica: y = x tan [ln (sqr (x² + y2)]]. Logaritmická špirála tiež ide von.
Špirála má charakteristickú vlastnosť: Každá čiara začínajúca na začiatku (červená) spája špirálu s rovnakým uhlom.

Viac špirál
Ak nahradíte termín r (t) = v Archimedovskej špirále inými výrazmi, dostanete niekoľko nových špirál. Existuje šesť špirál, ktoré môžete opísať pomocou funkcií f (x) = x ^ a [a = 2,1/2, -1/2, -1] a f (x) = exp (x) x) = ln (x). Rozlišujete dve skupiny v závislosti od toho, ako parameter t rastie od 0.

……… Ak sa absolútny modul funkcie r (t) zvyšuje, spirály prebiehajú zvnútra a von a presahujú všetky limity. Spirála 1 sa nazýva parabolická špirála alebo Fermatova špirála.

…. Ak sa absolútny modul funkcie r (t) znižuje, spirály prebiehajú zvonka dovnútra. Vo všeobecnosti bežia do stredu, ale nedosahujú ich. Je tu pól. Spirála 2 sa nazýva Lituus (skrivený personál).

Vybrala som rovnice pre rôzne špirálové vzorce vhodné na vykresľovanie.


Clothoide ( Cornu Spiral) na vrchole

…. Klúčová alebo dvojitá špirála je krivka, ktorej zakrivenie rastie s odstupom od pôvodu. Polomer zakrivenia je protiľahlý svojmu oblúku, meranému od pôvodu.Forma parametrov pozostáva z dvoch rovníc s integrálmi Fresnel, ktoré je možné vyriešiť len približne.

Použijete Cornu špirálu na opis energetickej distribúcie Fresnelovej difrakcie v jednej štrbine v teórii vlny.


Spirály z oblúkov
Polkruhové špirály

Môžete pridať polovice kruhov, ktoré rastú krok za krokom, aby ste získali špirály. Polomery majú pomery 1 : 1,5 : 2 : 2,5 : 3 …..

Fibonacci špirála

Nakreslite dva malé štvorce na seba. Pridajte postupnosť rastúcich štvorcov proti smeru hodinových ručičiek. Nakreslite štvrtiny kruhov vo vnútri štvorcov (čierne).

Tvoria Fibonacciho špirálu.

Spirála Fibonacciho sa volá po jeho počte. Ak vezmeme dĺžku štvorcových strán v poradí, dostanete poradie 1,1,2,3,5,8,13,21 … Toto sú čísla Fibonacci, ktoré môžete nájsť pomocou rekurzívneho vzorca a (n) = a (n-1) + a (n-2) s [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2].


Spirály vyrobené z linek segmentov hore

Spirála je tvorená úsečkami s dĺžkami 1,1,2,2,3,3,4,4, … Linky sa vzájomne stretávajú v pravom uhle.

Nakreslite špirálu v križovatke so štyrmi pretínajúcimi sa priamkami, ktoré tvoria uhol 45 °. Začnite horizontálnou čiarou 1 a ohnite nasledujúci riadok kolmo na priamku. Segmenty riadkov tvoria geometrickú sekvenciu so spoločným pomerom sqr (2). Ak nakreslite špirálu do priamky, priblížte sa k logaritmickej špirále, ak sa uhly zmenšujú a zmenšujú.

Ďalšia špirála je tvorená reťazou pravouhlých trojuholníkov, ktoré majú spoločnú stranu. Hypotenzia jedného trojuholníka sa stáva nohami ďalšieho. Prvý odkaz je trojuholník 1-1 sqr (2). Voľné nohy tvoria špirálu.

Je zvláštne, že sa trojuholníky dotýkajú segmentov. Ich dĺžky sú korene prirodzených čísel. Môžete to dokázať pomocou Pythagorovej vety.

Toto číslo sa nazýva koreňový špirálový alebo koreňový slimák alebo koleso Theodoru.


Štvorce sú otočené okolo ich stredu o 10 ° a súčasne stlačené tak, aby ich rohy zostali po stranách svojho predchádzajúceho štvorca.
Výsledok: Rohy tvoria štyri špirálové ramená. Spirála je podobná logaritmickej špirále, ak sú uhly menšie a menšie.
Môžete tiež otočiť iné pravidelné polygóny, napr. Rovnostranný trojuholník. Získate podobné čísla.

Tento obrázok mi pripomína programovací jazyk LOGO prvých dní výpočtu (C64-nostalgia).


Trojrozmerné špirály
Helix

Ak vykreslíte kružnicu s x = cos (t) a y = sin (t) a rovnomerne ju vytiahnete v smere z, dostanete priestorovú špirálu nazývanú valcová špirála alebo špirála.

Párové obrázky umožňujú zobrazenie 3D.


Reflektujte 3D-špirálu vo vertikálnej rovine. Dostanete novú špirálu (červenú) s opačným smerom. Ak držíte pravú ruku okolo správnej špirály a ak váš palec smeruje smerom k špirálovej osi, špirála bude v smere hodinových ručičiek smerom nahor. Je to pravé kruhové.

Musíte použiť ľavú ruku pre ľavú špirálu. Je ponechaná kruhová. Otáčanie je proti smeru hodinových ručičiek.

Príklad: Takmer všetky skrutky majú otáčanie v smere hodinových ručičiek, pretože väčšina ľudí je pravou rukou.


V “technickej” literatúre sa pravá kruhová špirála vysvetľuje nasledovne: Pri cylindri ste narazili pravouhlým trojuholníkom. Otáčajúca sa špirála v smere hodinových ručičiek sa rozvíja, ak sa trojuholník zväčšuje doprava.

Kónický Helix  
môžete vykonať kónickou skrutkovici s Archimedovho špirála alebo rovnoúhlový špirály.


Párové obrázky umožňujú zobrazenie 3D.


Loxodróm , sférická špirála

Rohovod je krivka na gule, ktorá pretína meridiány v konštantnom uhle. Na projekte Mercator sa zobrazujú ako priame čiary.
Parametrická reprezentácia je
x = cos (t) cos [1 / tan (at)]
y = sin (t) cos [1 / tan (at)]
z = -sin [ )
Môžete zistiť x2 + y2 + z² = 1. Táto rovnica znamená, že loxodróm ležia na gule.

Vo všeobecnosti existuje loxodróm pri každej pevnej látke vytvorenej otáčaním okolo osi.


Vytváranie vrcholov špirál

Pásik papiera sa stáva špirálou, ak vytiahnete pásku medzi palcom a okrajom noža a pevne ho zatlačíte. Spirála sa stáva zvlnenie, kde je prítomná gravitácia.

Tento efekt používate na zdobenie koncov syntetických materiálov, ako sú napríklad úzke farebné pásky alebo stuhy používané v darčekovom balení.
Predpokladám, že tento účinok musíte vysvetliť rovnakým spôsobom ako bimetalický pruh. Vytvoríte bimetalovú tyč lepením dvoch pásikov, z ktorých každý je vyrobený z iného kovu. Keď sa táto bimetalická tyč zahreje, jeden kovový pás sa roztiahne viac ako druhý, čo spôsobí ohnutie tyče.
Dôvod, prečo pás papiera ohýba nie je tak robiť s rozdielom teploty medzi hornou a spodnou stranou. Nôž mení štruktúru povrchu papiera. Táto strana sa stáva “kratšou”.
Mimochodom, pás papiera sa mierne ohne, ak ho držíte v horúčave plameňa sviečok.

Vytváranie kudrliniek mi pripomína starú detskú hru: Vezmite si púpavu a nakrájajte stonku na dva alebo štyri prúžky a nechajte hlavu neporušená. Ak umiestnite kvetinu do nejakej vody, aby sa hladina na plášti plávala, pásy stonky sa zvlňujú. (Pozor na miestach.)Možné vysvetlenie: Možno, že rozdielna absorpcia vody na každej strane pásov spôsobí ich zvlnenie.

Mandelbrot Set Špirály 

Súradnice patria do stredu obrázkov.

 


Nájdete tu tiež pekné špirály ako Julia Sets. Tu je príklad:

Viac o týchto grafoch nájdete na stránke Mandelbrot Set .

Spirály z kovu hore
Nájdete pekné špirály ako výzdobu prekážacích okien, plôch, brán alebo dverí. Môžete ich vidieť všade, ak sa pozriete.

Našla som spirály, ktoré stojí za to ukázať v New Ulm, Minnesota, USA. Američania s nemeckým pôvodom postavili kópiu pamätníka Hermana v blízkosti Detmold / Nemecko asi v roku 1900.
Železné zábradlie s mnohými špirálami zdobia schody (foto).Viac o americkom a nemeckom Hermanovi na stránkach Wikipedia (URL nižšie)

Kostýmované šperky taktiež berú špirály ako motív.

Annetteho špirála

Špirály, špirály, špirály
Ammonity, parohy z divých oviec, vodná špirála Archimedes, oblasť s vysokým alebo nízkym tlakom, usporiadanie slnečnicových jadier, bimetalový teplomer, biskupský personál, značka Brittany, kruhy orla morského, lezenie, oblaky dymu, cievky, špirálové pružiny, vývrtky, rastliny, krútenie, meteorológia, disk Festós, dvojité vlákno žiarovky, dvojitá špirála DNA, dvojitá špirála, elektrónové lúče v magnetickom pozdĺžnom poli, v cyklotróne, spirála Exner, značka prstov, jedľa kužeľa, kĺzavý vzostup, drážka záznamu, hlava hudobného nástroja husle, vyhrievací drôt vo vnútri varnej dosky, tepelná špirála, herbová špirála, inflačná špirála, sladkovodný slimák, životná špirála, atraktant Lorenza, minaret v Samarre (Irak), hudobný nástrojový roh,kyvadlo kyvadla kyvadla Galilei, reliéfny pás Traianovho stĺpca v Ríme alebo Bernwardov stĺpec v Hildesheime, makový slimák, cesta kužeľovej hory, role (drôt, niť, kábel, hadica, páska, papier, bandáž) závit, jednoduché kyvadlo s trením, had v kľudovej polohe, hada z Aesculapius, slimák vnútorného ucha, zvitky, šupka, slimák, pavučina, špirála, spirálová hmlovina, točité schodisko sklenená kupola Reichstagu v Berlíne), Spirallala ;-), Spirelli noodles, Spirills (napr. Cholera bacillus), pramene matraca, sací kmeň kapusta bieleho motýľa, chvost mora, kohútiky ihličnanov, jazyku a chvosta chameleónu, stopy na CD alebo DVD, výšky trojuholníka, kly obrov, vírusov,hodinky pružiny a vyvažovanie pružiny mechanických hodín, vírivka, víchrica.

Špirály na internete vrchole

Nemec

Asti
BEWEGUNGSFUNKTIONEN Spiralen

DHO Braasch Špirála
Symbol der Sonnenbahn

Jürgen Berkemeier
Fibonacci-Spiralen

Matheprisma
Bewegungsfunktionen (Spiralen 1) – ( Spiralen online zeichnen )

Michael Komma
Fresnel-Beugung am Einzelspalt ( Cornu-Spirála )

Susanne Helbig, Kareen Henkel a Jan Kriener
Spiralen v spoločnosti Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Stephan Jaeckel a Sergej Amboni Spiralen
v Natur, Technik und Kunst
(Referenz: Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Leipzig 1998)

Wikipedia
Spirale , Klothoide , Logarithmische Spirale , Fibonacci Folge , loxodróm , Ulam-Spirale
Hermannsdenkmal , Hermann Heights Monument

Angličtina

Ayhan Kursat ERBAS
Equiangular Spiral

Bob Allanson
Toto je logaritmická špirála

David Eppstein (Geometry Junkyard)
Spirály , (Odkazy)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Špirály :
Archimedovho špirála , kruh Involute , Kuželová špirála , Cornu Spiral , kudrlinky Fractal , Fermat Špirála , Helix , Hyperbolic Spiral, logaritmickej špirály , Mice Problém , Nielsen Spiral , polygonálne Spiral , Prime Spiral , Rational Spiral , Mušle , sférická špirála

Hop David (Hopova galéria)
Riemannova sféra , Ramov roh , Špirálová dlažba

Ivars Peterson
sledovanie kriviek výkonu

Jan Wassenaar
špirála

John Macnab
Sochy

Keith Devlin
Dvojitá špirála

Mark Newbold
Counter-Rotujúce špirály Illusion

Richard Parris (Freeware-Program WINPLOT)
Webová stránka officiella je uzavretá. Stiahnutie nemeckého programu na heide napríklad

Xah Lee
Equiangular špirála , Archimedean špirála , Lituus , Cornu špirála

Wikipedia
Spiral , Archimedovho špirála , Cornu špirála , Fermat je špirála , Hyperbolic špirála , Lituus , logaritmickej špirály ,
Fibonacci špirála , Golden špirála , loxodrómy , Ulam špirála ,
Hermann Heights Monument , Hermannsdenkmal

francúzsky

Robert FERRÉOL ( KURZY 2D )
SPIRELNÉ
KURZY 3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRÁLY KORIÉK DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE)

Rôzne jazyky
Túto stránku si môžete prečítať v haitskom kreolskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v malajskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v ruskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v hindčina .
Túto stránku si môžete prečítať aj v dánskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj vo francúzskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v holandskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v maďarskom preklade .
Túto stránku si môžete prečítať aj v španielskom preklade .


Referencie na začiatok
(1) Martin Gardener: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Berlín, 1982 [ISBN 3-550-07709-2]
(2) Rainer und Patrick Gaitzsch: 1985
(3) Jan Gullberg: Matematika – od narodenia čísiel, New York / Londýn (1997) [
4] Khristo N. Boyadzhiev: Spirály a konchospirály v letu hmyzu College Mathematics Journal,
Vol.30, No.1 (január 1999) pp.23-31
(5) Jill purc: mystik špirála – Cesta duše, Temža a Hudson, 1972, dotlač 1992