Priestorová Dynamika Ľudskej Populácie: Základné Modely

link: http://faculty.ucr.edu/~hanneman/spatial/single_populations.html

Robert A. Hanneman
Katedra sociológie
Kalifornská Univerzita, Riverside

Jednoduchá populácia priestorovej dynamiky

Úvod: Tri vzory pohybu

Materiál a informácie množstvách môže presunúť z jedného miesta na druhé v priebehu času. V tejto sekcii, budeme rozvíjať väčšina základných modelov pohybu. Budeme sa zaoberať pohyb dvoch (veľmi abstraktné a všeobecné) druhy množstvo: materiály a informácie. A budeme skúmať tri základné prístupy pri pohľade na to, ako tieto množstvá pohybovať v priestore: štvrtí, vzdialenosti, a sietí.

Kde množstvá sú “chránené” materiál množstvách, ktoré môžu byť umiestnené len v jednom mieste a v čase, budeme volať ich pohyb “migrácie.” Jeden typ materiálu množstvo ľudskej populácie, a hovorí o “migrácia” obyvateľstva z miesta na miesto je bežný jazyk. Môžeme tiež uvažovať o “migrácia” populácie iných druhov (vrátane ochorenia vektory), hromadné a luxusných tovarov a peňazí.

Kde množstvá nie sú “chránené” (t. j. informácie), nazývame ich pohyb “difúzie.” Informácie sa líši od materiálu v tom, že môže presunúť na nové miesto, bez toho aby ho opustila jeho pôvodu — ak vám poviem niečo, teraz sme obaja to viete. Informácie/materiály alebo non-zachované/zachované rozdiel nie je vždy zvládnuť všetky jemné aspekty rôzne veci, ktoré sa pohybovať z miesta na miesto. Ale to bude fungovať dosť dobre na našich základných potrieb.

Existuje niekoľko spôsobov, ktoré sa myšlienka, že “priestor” je preložené do formálneho vyjadrenia, aby sme mohli stavať modely priestorovej dynamiky. Budeme sa zaoberať tri rôzne preklady.

Štvrtí chápať ako pojem priestoru, ako fyzicky priľahlých oblastí. Veci pohli o odchode jedného miesta, a re-umiestnenie na priľahlom priestore. Väčšina bunkové automaty a agent-based modely využívajú okolí prístup. Keďže naše modely pôsobia na mriežke (alebo mreža), celý priestor je jeden súbehu štvrtí susedné bunky. Teórie pohybu určiť či množstvo sa pohybuje alebo nie; a ak áno, v akom smere (a niekedy, koľko štvorcov).

Vzdialenosti chápať ako pojem priestoru ako blízkosť-blízkosť (adjacency je, ak budete, špeciálnym prípadom vzdialenosť). Každý bod alebo oblasť, v mriežke je v pevnej vzdialenosti od seba bod alebo oblasť na mriežke. Teórie pohybu určiť či množstvo sa pohybuje alebo nie; a ak áno, ako ďaleko. Vzdialenosti sú často používané v matematických modelov priestorových javov, pretože oni majú jednoduché a všeobecnej podobe, ktoré môžu byť použité na určenie účinky trenia, na gravitácii, a podobne na množstvo hmoty, ktorá sa presúva z jedného miesta na iné.

Siete chápať ako pojem priestor buď ako adjacency alebo vzdialenosť — ale nie mapa tieto pojmy vo fyzickej súradnice. Fyzické umiestnenie v mriežke môže byť “susedných” alebo vo vzdialenosti jednej jednotke od iných poloha-v závislosti od niektoré základné vzor spojenie. Zvážte, pre príklad, ako doprava lietadlom spája miesta. Je veľa miest, kde jednoducho nemajú žiadne spojenie so žiadnym iným. Mnoho ďalších miest, ktoré sú fyzicky ďaleko od seba (napr. Los Angeles a Hong Kong) sú vlastne celkom blízko, keď sa alokujú na leteckej dopravnej siete.

Migrácia/difúzie: Štvrtí

V “susedstve” prístup, množstvo migrovať alebo difúznym použitím, najmä z každého miesta, na všetkých priľahlých lokalitách. Na mriežke existujú dve alternatívne definície “priľahlý miestach.” Na von Neuman okolí sa skladá zo štyroch štvorcov, Sever, Juh, Východ, Západ a štvorca; Moore okolí sa skladá z ôsmich štvorcov nachádza NW, N, NE, W, E, SW, S, SE štvorca.

a. materiál/migrácie

Predpokladajme, že sme mali 3 3 priestoru, s populácie celej populácie nachádza, spočiatku, v SZ rohu (námestie 1,1). Predstavme si, že miery pôrodnosti a úmrtnosti tohoto obyvateľstva je konštantná a rovná. Dajte nám tiež predpokladajme, že konštantné percento obyvateľov out-putuje v každý čas.

Predpokladajme, že mobilita takto von Neuman okolí pravidlá. Aký bude výsledok vyzerať?

  • Na začiatku, všetky populácie sa nachádza v SZ rohu.
  • Po jednom časovom období, niektoré sa bude pohybovať od 1,1 1, 2 a 2,1.
  • Po dvoch časových obdobiach, viac sa bude pohybovať od 1,1 až 1,2 a 2,1; niektoré sa bude pohybovať od 1,2 späť na 1,1 a tiež na 1,3 a 2,2; niektoré sa bude pohybovať od 2,1 späť na 1,1, zatiaľ čo iní presunúť z 2,1 na 3,1 a 2,2.
  • Po troch obdobiach, všetky rovnaké pohyby sa naďalej vyskytujú. Okrem toho, nedávne migrantov 1,3 bude späť prejsť na 1,2, a prejsť na 2,3; najnovší migrantov 1,3 bude späť prejsť na 2,1, a tiež prejsť na 3,2. Nové modely na 2,2 bude migrovať vo všetkých štyroch smeroch.
  • Po štyroch etapách, celej siete bude obsadená; a pohyb bude pokračovať, až kým sa – nakoniec – dynamickej rovnováhe s rovným populácie vo všetkých buniek sa bude zobrazovať.

Obrázok 1a ukazuje úrovne obyvateľstva v deviatich štvorcov, ako sa mení v priebehu času.

Obrázok 1a. Stabilné populácie, konštantný migrácie cez von Neuman štvrtí.

Madonna program pre obrázok 1a
Počiatočná populácia dátový súbor na obrázok 1a

Úroveň obyvateľstva v pôvodu populácia klesá exponenciálne, kým to konverguje s úrovniach populácie v iných rohu štvorca. Štvorce bezprostredne priľahlé k pôvodu (1,2 a 2,1) vznik rýchlo sa pred klesá do istej rovnovážnej hodnoty ako ostatné “edge” štvorce (napr. 2,3). Centrum námestie stúpa rýchlejšie ako ostatní (s výnimkou tých, v blízkosti miesta pôvodu), a je najväčším populácia v rovnováhe. Môžete vysvetliť:

  • Prečo nemá miesta pôvodu zostávajú najväčší počet obyvateľov?
  • Prečo je najväčší počet obyvateľov v stredu? Prečo je druhý najväčší počet obyvateľov na okraji? Prečo sú najmenšie populácie v rohoch?
  • Prečo sú všetky hrany, všetky centrá, a všetky rohy rovnaké v rovnováhe?
  • By rovnováhy výsledok byť rôzne, ak obyvateľstva bola pôvodne umiestnená na hrane alebo v stredu?
  • By rastové krivky v priebehu prvých čas body byť rovnaké, bez ohľadu na to, kde obyvateľstvo bolo pôvodne umiestnené?

Prípadne, predpokladajme, že migrácia nasledoval Moore okolí pravidlá. Aký bude výsledok vyzerať? Spýtajte sa sami seba:

  • Bude tvary, krivky byť rôzne, v niektorých kvalitatívnych spôsobom? Alebo, budú podobné? Budú identické?
  • Ako dlho bude trvať, kým tam bude nejaké obyvateľstva na každý štvorec? Bude proces pohyb obyvateľstva na celé pole rýchlejšie s von Neuman alebo s Moore pravidlá?
  • Bude obyvateľstva dosiahnutie dynamickej rovnováhy v rámci Moore pravidlá, ako sa to robí pod von Neuman?
  • Ak je v rovnováhe, čo to vyzerať?
  • Ako dlho bude trvať, kým rovnovážny stav? Bude Moore alebo von Neuman dosiahnutie rovnovážneho stavu rýchlejšie?

Obrázok 1b zobrazuje rovnaký scenár ako obrázok 1, ale pomocou Moore štvrtí. Boli ste správne?

Na obrázku 1b. Stabilné populácie, konštantný migrácie cez Moore štvrtí.

Madonna program pre obrázok 1b
Počiatočná populácia dátový súbor na obrázok 1b

Vyskúšajte:

  • Čo ak obyvateľstva bol pôvodne umiestnený v strede mriežky? Čo ak to bola nachádza v severnej a strednej? Vyskúšajte tieto experimenty.
  • Čo ak mriežky boli väčšie? Skúste modelu o 10 o 10 mriežky.
  • Čo ak tam boli, spočiatku viac ako jeden obyvateľov centra? Čo v prípade, ak tieto boli rovnako veľké alebo nerovnomerne veľkých centier?

b. informácie/difúzie

Ak množstve nie je skutočne chcete zmeniť umiestnenie, ale skôr sa “rozmnožovať” alebo klonovanie na nové miesto, keď ho rozptyľuje, celková dynamika systému bude vyzerať celkom inak.

  • Čo si myslíte, že typické krivky bude vyzerať na množstvo informácií v rôznych populáciách cez grid?
  • Bude množstvo informácií vo všetkých mriežky štvorcov dopadnú rovnako?
  • Bude množstvo informácií, najväčší v strede mriežky?

Obrázok 2a ukazuje dynamiku šírenie zachované množstvo za prvých desať časových obdobiach. Informácie tu (100 kusov) je spočiatku sa nachádza v centre mriežky (2,2). Difúzne tu vyskytuje v rôznych von Neuman okolí.

Obrázok 2a. Informácie difúzie cez von Neuman štvrtí

Madonna program pre obrázok 2a
Počiatočnej populácie dátový súbor na obrázok

Ak vaše predpovede správne?

Jedným z kľúčových rozdiel je, že množstvo vo všetkých miestach rastú exponenciálne, a systém nebude mať rovnováhu. Je to preto, lebo informácie sú priebežne klonovanie zo všetkých miest na to susedia, bez toho, aby využil-a tak sa hromadí. Od množstva informácií je migrácia je konštanta podiel informácie na úrovni v každej populácie, množstvo migrujúcich neustále zvyšuje množstvo prítomné v každej lokalite rastie.

Všimnite si, že umiestnenie záleží. Pôvodný bod zdroj informácií vždy obsahuje najväčšie množstvo, a medzera medzi ním a je to susedia rozširuje v priebehu času. Štvorce, ktoré sú ďalej od východiskového bodu začať ich rast, neskôr, a nikdy dobehnúť.

Tento typ zachované šírenie môže byť priradených cez Moore priestor. Simuláciu je to zobrazené ako obrázok 2b.

Obrázok 2b. Informácie difúzie cez Moore štvrtí

Madonna program pre obrázok 2b
Počiatočné informovať hodnoty pre obrázok 2b

V tejto beh, sme začali s informáciami v strede siete.

  • Je šírenie rýchlejšie alebo pomalšie s Moore štvrtí ako s von Neuman štvrtí?
  • Sa spustením simulácie všetky informácie sústredené v strede mriežky produkovať iný výsledok, v rovnováhe, ako začína v rohu?
  • sú tri “zón” alebo rovnováhe. Môžete vidieť, prečo, a vysvetliť, prečo majú relatívnej veľkosti robia?

Migrácia/difúzie: Vzdialenosť

Pohyby niektoré veci môžu byť efektívne modelovať ako funkcie fyzická vzdialenosť medzi ich umiestnenie na štartovom rošte. Atraktivity mesta ako destinácie pre migráciu, napríklad, bol teoretizoval byť inverzný funkcia z je vzdialenosť z iných miest. Materiál môže migrovať z miesta na všetky iné miesta ako funkciu jeho vzdialenosť od tých miestach, informácie môže plošných s intenzitou v nepriamej úmere k fyzickej vzdialenosti.Existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako indexovanie vzdialenosť medzi dvoma miestami v mriežke. Budeme používať jednoduché “Euklidovej vzdialenosti.” V Euklidovej vzdialenosti medzi dvoma bodmi sa rovná odmocnina zo súčtu rozdiely v ich súradnice X na druhú a ich Y súradnice na druhú.

a. materiál/migrácie

Predpokladajme, opäť, že máme populácie sa nachádza v SZ rohu (bunky 1,1) tri-o-tri ikony. V každom období niektoré časť tejto populácie migrujú von. Ciele týchto migrantov sú v nepriamej úmere k mocninou vzdialenosti od pôvodu. Napríklad, migranti z (1,1), (1,2; 2,2; a 2,1) sú vo vzdialenosti 1, tak migrácie je najintenzívnejšie na každej z týchto lokalít. Zároveň však migrácie sa vyskytuje (1,3 a 3,1), vzdialenosť 2, s intenzitou 1/2. Rovnako je to pravda pre všetky výšky migrácie z 1,1 na všetky iné súradnice.

Raz populácie dosiahne nové miesto, migrácia začína aj z tohto umiestnenia na všetkých ostatných, podľa rovnakého pravidla proporcionality inverzné na vzdialenosť nové umiestnenie pre všetky ostatné.

Obrázok 3a ukazuje základné migrácie riadia inverzné vzdialenosť pravidlo, ktoré sa začína v SZ rohu.

Obrázok 3a. Migrácia s sadzieb v nepriamej úmere k vzdialenosti

Madonna program pre obrázok 3a

b. informácie/difúzie
Dynamika šírenie informácií z jedného miesta zdroja na iných miestach, môžete byť určené v rovnaký spôsob, ako (s toky informácií z každého miesta, na všetky ostatné sú v nepriamej úmere k vzdialenosti). Keďže informácie nie je skutočne “pohybovať sa,” ale skôr je “kopírovaný” iných miestach, charakteristické vzory sa značne líšia, ako vidíme na obrázku 3b.

Obrázok 3b. Šírenie informácií na ceny v nepriamej úmere k štvorcom vzdialenosti od úvodného jedného zdroja

Madonna program pre obrázok 3b

Keďže informácie nie je “použitý” zdieľa, a pretože každé miesto odošle informácie každé iné miesto, rast na všetkých miestach je exponenciálny. Aj keď “správy” sa začala v ľavom hornom rohu (1,1), to je miesto, (2,2), že čoskoro príde majú najväčšie akumulácie. Môžete vidieť, prečo centrálne umiestnenie by mať túto výhodu? (odpoveď: pretože centrálnej polohe má najmenší súčet vzdialeností od všetkých ostatných miestach).

Migrácia/difúzie: Na sieť

“Medzera” alebo “vzdialenosť” medzi sociálnymi aktérmi-ako vnímajú to-je často veľmi odlišné od fyzického priestoru medzi nimi. Účastníci si môžu udržiavať úzke sociálne väzby dlhej fyzickej vzdialenosti; môžu mať veľmi slabé alebo žiadne pripojenie na aktérov, ktorí sú fyzicky blízko k nim.Vzdialenosti medzi fyzické priestory, taky, sa nemusia vždy podobať adjacency (ako v susedstve) alebo fyzické vzdialenosti (ako v Euklidovej vzdialenosti). New York a Los Angeles sú pomerne vzdialené, ak som cestujete pešo, alebo dokonca v automobile; ale oni sú celkom blízko letecky cestovať. Opísať vzdialenosť z jedného miesta na druhé letecky, počet medzistupne, skôr než fyzická vzdialenosť môže byť dôležitejšie.Spoločný spôsob zastupujúcich spojenia medzi miestach (alebo sociálnych aktérov), ktorá nie je založená na fyzickom priestore je “mapa” ne ako na miesta v sieti pripojení. Zvážte siete (alebo “graf”) na obrázku 4.

Obrázok 4. Jednoduché upravené “malý svet” sieť

Predstavte si, že miestach, 6, 7, 10 a 11 sú námorných prístavov, medzi ktorými lode môžu cestovať (ale, že lode z každého portu cestovať priamo len na dva porty vedľa nich. Lokality 1, 2, a 5 sú pripojené na hustú cestnú sieť s port (6). Obdobný “krajina” sa skladá z miestach, 11, 12, 15 a 16. V ostatných dvoch “krajiny” (t. j. 7, 3, 4, 8; 10, 9, 13, 14) prístavné mesto je centrálne miesto, a všetky cestovať z jedného miesta na druhé v krajine prechádza cez to.

Tento konkrétny sieť, pričom veľmi zjednodušené, nie je príliš atypické mnohých reálnom svete “malého sveta”, siete, v ktorej všetky subjekty majú viac väzby na ich lokálnej skupiny alebo klaster ako na outsiderov (t.j. graf je dosť vysoko skupinový), ale priemerná vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi (aj vo vzdialených krajinách) je pomerne malá. Napríklad, osoba, prechod z polohy 13 mohlo dosiahnuť miesto 4 v štyroch krokoch. Väčšina aktérov komunikovať väčšinu času s ostatnými v skupine (a väčšina hercov sa bez pripojenia na všetky mimo ich skupiny); ale zároveň, materiál alebo informačné množstvo môže z akéhokoľvek herec na akýkoľvek iný v celej populácii len pár stredne prestane.

a. materiál/migrácie

Sieť na obrázku 4 môže poskytnúť dobrý spôsob opisu migračných tokov. Sťahovanie nemám ísť od všade tam, kde všade — zvyčajne oveľa ťažšie spolu niektoré spôsoby, ako ostatné. A čo migrácie je “krok za krokom.” Prví ľudia presunúť z “dediny” (napr. umiestnenie 1) na “city” (napr. umiestnenie 6), a potom sa môže presunúť do iného mesta na veľkú vzdialenosť.

Poďme si predstaviť, že by sme mali celkový počet obyvateľov 40 ľudí. Desať každý sa nachádzajú v štyroch “rohy” siete (t. j. 1, 4, 13, 16). Predpokladajme, že miery pôrodnosti a úmrtnosti sú v rovnováhe (2% za každý rok) vo všetkých obyvateľov. Predpokladajme, že 10% populácie z akéhokoľvek miesta sa pohybuje každý rok, a že keď sa pohybuje, sa pohybuje rovnomerne pozdĺž každej dostupné siete chodník. To všetko sú veľmi veľa, viac-jednoduché predpoklady, samozrejme-ale dávajú nám východiskom pre pochopenie vplyvov priestor sám o výsledku.

Obrázok 5 ukazuje krivky, ktoré opisujú, ako populácií miesta budú v priebehu času meniť v tejto jednoduchej simulácie.

Obrázok 5. Migračný tok v modifikovanej “small world” siete

Madonna program pre obrázok 5
Štruktúra siete na obrázku 5

Počiatočná populácia hodnoty pre obrázok 5

Môžeme vidieť, že populácií štyri pôvodu miestach pokles, kým nedosiahnu dvoch rôznych rovnovážnych úrovní (jeden pre dvoch “klik” a jeden pre dve “hviezdy” spoločenstiev v grafe). Centrálne umiestnenie skončiť s vyšším populácie v rovnováhe, než si okrajových miestach; modrej a žltej krivky popíšte výstupy na centrálne umiestnenie. Celkový počet obyvateľov v dvoch “clique” časti grafu skončiť vyššie ako vo hviezdach. Distribúcia konečný počet je tiež viac rovní v klik, ako vo hviezdach, a centrálny bod z hviezd má vyššie konečné hodnoty ako centrálne body hviezdy.

Rovnováha je výsledok:

2.7 2.7 0.9 0.9
2.7 4.5 4.6 0.9
0.9 4.6 4.5 2.7
0.9 0.9 2.7 2.7

Tam sú niektoré zaujímavé vzory tu.

  • Tu je rovnováhy.
  • Všetky uzly vo vysoko-pripojený miestnych štvrtiach urobiť lepšie než všetky uzly v menej dobre pripojené miestnych štvrtiach.
  • Viac vysoko pripojený štvrtí majú viac rovnakých rozdelení, ako menej dobre pripojené štvrtí.
  • Centrálne umiestnenie menej dobre pripojené susedstve sa mierne lepšie ako centrálne umiestnenie viac plne pripojený štvrtí.

Spýtajte sa sami seba:

  • Má rovnováhy závisí od počiatočnej distribúcii?
  • Čo by sa stalo, ak migrácie tiekla len v jednom smere (či už v rámci alebo medzi štvrtí)?
  • Aké vzory sa môžu objaviť v prípade, že sieť bola husto prepojené? Menej husto prepojené?

b. informácie/difúzie

Čo ak množstva, ktoré sa pohybovala v sieti-mapované priestor bol non-zachované? Že je, ak to bol zopakovaný na ďalšie sieťové umiestnenie, skôr ako sťahujete sa? Obrázok 6 ukazuje rovnaký experiment ako obrázok 5, ale tentoraz množstvá sú replikované pozdĺž siete, skôr než migráciu.

Obrázok 6. Šírenie informácií cez upravené “malého sveta” sieť

Madonna program pre obrázok 6
Štruktúra siete pre obrázok 6

Počiatočné populácie na obrázok 6

Keďže informácie sa hromadí a propaguje prostredníctvom siete, úroveň rastie exponenciálne na všetkých miestach. Do mier rastu, však nie sú všetci rovní. V skutočnosti, rovnaké základné modely vznikajú v dôsledku štruktúra siete: okrajových polohách rastú pomalšie ako centrálneho miesta. Rast v pevne pripojený miestnych štvrtiach je rýchlejšie ako rast v menej pevne spojený štvrtí. Miera rastu centier “hviezdy” sú vyššia ako miera rastu “klik.” Rozdiely medzi mierou rastu v jadre a v periférii je väčší v centralizovanej “star” štvrte, ako to je v “clique” štvrte.

Závery

Cieľom tejto kapitoly bolo zavedenie tri spôsoby myslenia o “priestor” a “vzdialenosti”, ktoré sú často užitočné pri budovaní modely sociálnej priestorovú dynamiku. Myšlienky “štvrte,” “vzdialenosti” a “siete” sú tri spôsoby, predstavujúce miestach sociálnych objektov. Rôzne prístupy sú viac užitočné pre rôzne druhy problémov.

Okolie reprezentácie priestoru sa bežne používa často v agent-based-modelovanie a cellular automata. V okolí priestor, každý herec je vložený v súbore priľahlých aktérov, a štvrtí prekrývajú tvoriť mreža. Keď materiál alebo informácie migruje alebo rozptyľuje, robí tak prechodom zo okolí priľahlých štvrtiach. Keď herci “zákon” často monitor alebo vziať do úvahy opatrenia, ich susedov. Skúmali sme dva najbežnejšie druhy štvrtí — von Neuman a Moore definície. Možno si myslíte o iných pojmov štvrtiach, ktoré sa môžu uplatňovať na systémy, ktoré vás zaujímajú.

Vzdialenosť reprezentácie priestorových vzťahov (pozreli sme sa na najčastejšie prístup — Euklidovej vzdialenosti) sú často užitočné, keď aktéri komunikovať s, alebo zdieľať informácie s ostatnými aktérmi-nie len susedia. Zvyčajne, výška migračných alebo šírenie medzi “miesta” alebo “herci” v Euklidovej priestor je nejaká funkcia vzdialenosti medzi nimi. Sme sledovali migrácie a šírenia dynamics ako funkcia inverzie mocninou vzdialenosti medzi miestami alebo populácie. Možno si myslíte o iných “funkcie” na diaľku, ktoré by sa mohli vzťahovať na systémy, ktoré vás zaujímajú.

Tiež sme sa pozrieť na sieti reprezentácie vzdialenosť. Siete sú možno najviac flexibilný prístup k mysleniu o vzdialenosti pre mnohých spoločenských vied problémy. von Neuman a Moore štvrtí môže byť reprezentovaný ako siete. Sieťové koncepcie vzdialenosť môže mať určité vlastnosti, ktoré sú veľmi zaujímavé a užitočné pre zastupovanie sociálnych vzťahov. Vzdialenosť od A do B nemusí byť rovnaká ako vzdialenosť od B do A. Štvrtí nemusia byť homogénne — niektoré subjekty môžu mať veľké štvrtí, a ostatné malé. Vzdialenosti zastúpená sietí môže byť “sociálne” vzdialenosti skôr ako fyzické vzdialenosti. Aktéri môžu byť spojené viacerými spôsobmi prostredníctvom rôznych sietí, súčasne (pohyb sypkého materiálu, tovaru, môže nasledovať jeden topológie, pohyb osôb môže nasledovať ďalší).

Teraz máme niektoré základné myšlienky o priestorových dynamics v ruke, môžeme začať stavať niektoré modely, ktoré sú len trochu realistickejšie.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *